Решить (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Решение для x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Действия по решению

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -6 и c на 7.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Решение x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\left(\sqrt{2}+3\right) и x-\left(3-\sqrt{2}\right) должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-\left(\sqrt{2}+3\right) положительное и x-\left(3-\sqrt{2}\right) отрицательно.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x-\left(3-\sqrt{2}\right) положительное и x-\left(\sqrt{2}+3\right) отрицательно.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$