Решить (x-2)^3=64

$$( x - 2 ) ^ { 3 } = 64$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=6$$

$$x=2\sqrt{3}i\approx 3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i\approx -0-3,464101615i$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} для разложения \left(x-2\right)^{3}.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

Вычтите 64 из обеих частей уравнения.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

Вычтите 64 из -8, чтобы получить -72.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -72, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=6$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}-6x^{2}+12x-72 на x-6, чтобы получить x^{2}+12. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}+12=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 0 и c на 12.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

Решение x^{2}+12=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=6 x=-2i\sqrt{3} x=2i\sqrt{3}$$

Найдите x

$$x=6$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} для разложения \left(x-2\right)^{3}.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8=64$$

Вычтите 64 из обеих частей уравнения.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-8-64=0$$

Вычтите 64 из -8, чтобы получить -72.

$$x^{3}-6x^{2}+12x-72=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -72, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±72,±36,±24,±18,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=6$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}-6x^{2}+12x-72 на x-6, чтобы получить x^{2}+12. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}+12=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 0 и c на 12.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 12}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{2}$$

Решения нет, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел.

$$x\in \emptyset$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=6$$