Решить (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Решение для x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Действия по решению

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -4 и c на -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

РазРешите уравнение, x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}, когда ± — плюс, а когда ±-минус.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Чтобы получить произведение ≥0 , как x-\left(\sqrt{7}+2\right), так и x-\left(2-\sqrt{7}\right) должны быть ≤0 либо ≥0. Рассмотрим ситуацию, когда x-\left(\sqrt{7}+2\right) и x-\left(2-\sqrt{7}\right) ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Рассмотрим ситуацию, когда x-\left(\sqrt{7}+2\right) и x-\left(2-\sqrt{7}\right) ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$