Решить (x-2)^2=1+x

$$( x - 2 ) ^ { 2 } = 1 + x$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{2} \approx 4,302775638$$

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\approx 0,697224362$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=1+x$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-4x+4-1=x$$

Вычтите 1 из 4, чтобы получить 3.

$$x^{2}-4x+3=x$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-4x+3-x=0$$

Объедините -4x и -x, чтобы получить -5x.

$$x^{2}-5x+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -5 вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3}}{2}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12}}{2}$$

Прибавьте 25 к -12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{13}}{2}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{13}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{13}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{13}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{13} из 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=1+x$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-4x+4-x=1$$

Объедините -4x и -x, чтобы получить -5x.

$$x^{2}-5x+4=1$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-5x=1-4$$

Вычтите 4 из 1, чтобы получить -3.

$$x^{2}-5x=-3$$

Разделите -5, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$$

Прибавьте -3 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{13}{4}$$

Разложите x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$$