Решить (x-1)^2=4x(x-1)

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 x ( x - 1 )$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Чтобы умножить 4x на x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Прибавьте 4x к обеим частям.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Объедините -2x и 4x, чтобы получить 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -3x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=3 b=-1$$

Перепишите -3x^{2}+2x+1 как \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Вынесите за скобки 3x в -3x^{2}+3x.

$$3x\left(-x+1\right)-x+1$$

Вынесите за скобки общий член -x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+1=0 и 3x+1=0у.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Чтобы умножить 4x на x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Прибавьте 4x к обеим частям.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Объедините -2x и 4x, чтобы получить 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, 2 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 4 к 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{-2±4}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±4}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Привести дробь \frac{2}{-6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±4}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 4 из -2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Разделите -6 на -6.

$$x=1$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{3} x=1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Чтобы умножить 4x на x-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Прибавьте 4x к обеим частям.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Объедините -2x и 4x, чтобы получить 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-3x^{2}+2x=-1$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{1}{-3}$$

Разделите 2 на -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

Разделите -1 на -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Деление -\frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$