Решить (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Найдите x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Объедините x^{2} и 4x^{2}, чтобы получить 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Объедините -2x и 8x, чтобы получить 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Чтобы вычислить 5, сложите 1 и 4.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Вычтите 16 из 5, чтобы получить -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-11. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -55.

$$-1,55 -5,11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 6.

$$a=-5 b=11$$

Перепишите 5x^{2}+6x-11 как \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Разложите 5x в первом и 11 в второй группе.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 5x+11=0у.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Объедините x^{2} и 4x^{2}, чтобы получить 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Объедините -2x и 8x, чтобы получить 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Чтобы вычислить 5, сложите 1 и 4.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Вычтите 16 из 5, чтобы получить -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 6 вместо b и -11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Прибавьте 36 к 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±16}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Разделите 10 на 10.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{-6±16}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Привести дробь \frac{-22}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Объедините x^{2} и 4x^{2}, чтобы получить 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Объедините -2x и 8x, чтобы получить 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

Чтобы вычислить 5, сложите 1 и 4.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Вычтите 5 из 16, чтобы получить 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Деление \frac{6}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Прибавьте \frac{11}{5} к \frac{9}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Вычтите \frac{3}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$