Решить (x^{2}-x)^2+2x(x^2-1)=(x-1)^2(x+1)^2

$$( x ^ { 2 } - x ) ^ { 2 } + 2 x ( x ^ { 2 } - 1 ) = ( x - 1 ) ^ { 2 } ( x + 1 ) ^ { 2 }$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x^{2}-x\right)^{2}.

$$\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$x^{4}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели. Сложите 2 и 1, чтобы получить 3.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 2x на x^{2}-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Объедините -2x^{3} и 2x^{3}, чтобы получить 0.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Чтобы умножить x^{2}-2x+1 на x^{2}+2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$x^{4}+x^{2}-2x=x^{4}-2x^{2}+1$$

Вычтите x^{4} из обеих частей уравнения.

$$x^{4}+x^{2}-2x-x^{4}=-2x^{2}+1$$

Объедините x^{4} и -x^{4}, чтобы получить 0.

$$x^{2}-2x=-2x^{2}+1$$

Прибавьте 2x^{2} к обеим частям.

$$x^{2}-2x+2x^{2}=1$$

Объедините x^{2} и 2x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}-2x=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-3 b=1$$

Перепишите 3x^{2}-2x-1 как \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки 3x в 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 3x+1=0у.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x^{2}-x\right)^{2}.

$$\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$x^{4}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели. Сложите 2 и 1, чтобы получить 3.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 2x на x^{2}-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Объедините -2x^{3} и 2x^{3}, чтобы получить 0.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Чтобы умножить x^{2}-2x+1 на x^{2}+2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$x^{4}+x^{2}-2x=x^{4}-2x^{2}+1$$

Вычтите x^{4} из обеих частей уравнения.

$$x^{4}+x^{2}-2x-x^{4}=-2x^{2}+1$$

Объедините x^{4} и -x^{4}, чтобы получить 0.

$$x^{2}-2x=-2x^{2}+1$$

Прибавьте 2x^{2} к обеим частям.

$$x^{2}-2x+2x^{2}=1$$

Объедините x^{2} и 2x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}-2x=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -2 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Прибавьте 4 к 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{2±4}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Разделите 6 на 6.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{2±4}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 4 из 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Привести дробь \frac{-2}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x^{2}-x\right)^{2}.

$$\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$x^{4}-2x^{2}x+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели. Сложите 2 и 1, чтобы получить 3.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x\left(x^{2}-1\right)=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 2x на x^{2}-1, используйте свойство дистрибутивности.

$$x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Объедините -2x^{3} и 2x^{3}, чтобы получить 0.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{4}+x^{2}-2x=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Чтобы умножить x^{2}-2x+1 на x^{2}+2x+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$x^{4}+x^{2}-2x=x^{4}-2x^{2}+1$$

Вычтите x^{4} из обеих частей уравнения.

$$x^{4}+x^{2}-2x-x^{4}=-2x^{2}+1$$

Объедините x^{4} и -x^{4}, чтобы получить 0.

$$x^{2}-2x=-2x^{2}+1$$

Прибавьте 2x^{2} к обеим частям.

$$x^{2}-2x+2x^{2}=1$$

Объедините x^{2} и 2x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}-2x=1$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Деление -\frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$