Решить (x+8)^2+x^2=256

$$( x + 8 ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 256$$

Найдите x

$$x=4\sqrt{7}-4\approx 6,583005244$$

$$x=-4\sqrt{7}-4\approx -14,583005244$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+8\right)^{2}.

$$x^{2}+16x+64+x^{2}=256$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+16x+64=256$$

Вычтите 256 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+16x+64-256=0$$

Вычтите 256 из 64, чтобы получить -192.

$$2x^{2}+16x-192=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 16 вместо b и -192 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 2\left(-192\right)}}{2\times 2}$$

Возведите 16 в квадрат.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 2\left(-192\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-8\left(-192\right)}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на -192.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\times 2}$$

Прибавьте 256 к 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16 к 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{4}$$

Разделите -16+16\sqrt{7} на 4.

$$x=4\sqrt{7}-4$$

Решите уравнение x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 16\sqrt{7} из -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{4}$$

Разделите -16-16\sqrt{7} на 4.

$$x=-4\sqrt{7}-4$$

Уравнение решено.

$$x=4\sqrt{7}-4 x=-4\sqrt{7}-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+8\right)^{2}.

$$x^{2}+16x+64+x^{2}=256$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$2x^{2}+16x+64=256$$

Вычтите 64 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+16x=256-64$$

Вычтите 64 из 256, чтобы получить 192.

$$2x^{2}+16x=192$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+16x}{2}=\frac{192}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{16}{2}x=\frac{192}{2}$$

Разделите 16 на 2.

$$x^{2}+8x=\frac{192}{2}$$

Разделите 192 на 2.

$$x^{2}+8x=96$$

Деление 8, коэффициент x термина, 2 для получения 4. Затем добавьте квадрат 4 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+8x+4^{2}=96+4^{2}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x^{2}+8x+16=96+16$$

Прибавьте 96 к 16.

$$x^{2}+8x+16=112$$

Коэффициент x^{2}+8x+16. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=112$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{112}$$

Упростите.

$$x+4=4\sqrt{7} x+4=-4\sqrt{7}$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$x=4\sqrt{7}-4 x=-4\sqrt{7}-4$$