Решить (x+7)^2=2x^2+8x+54

$$( x + 7 ) ^ { 2 } = 2 x ^ { 2 } + 8 x + 54$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+14x+49=2x^{2}+8x+54$$

Вычтите 2x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+14x+49-2x^{2}=8x+54$$

Объедините x^{2} и -2x^{2}, чтобы получить -x^{2}.

$$-x^{2}+14x+49=8x+54$$

Вычтите 8x из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+14x+49-8x=54$$

Объедините 14x и -8x, чтобы получить 6x.

$$-x^{2}+6x+49=54$$

Вычтите 54 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+6x+49-54=0$$

Вычтите 54 из 49, чтобы получить -5.

$$-x^{2}+6x-5=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=-\left(-5\right)=5$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=5 b=1$$

Перепишите -x^{2}+6x-5 как \left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки -x в -x^{2}+5x.

$$-x\left(x-5\right)+x-5$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и -x+1=0у.

$$x=5 x=1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+14x+49=2x^{2}+8x+54$$

Вычтите 2x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+14x+49-2x^{2}=8x+54$$

Объедините x^{2} и -2x^{2}, чтобы получить -x^{2}.

$$-x^{2}+14x+49=8x+54$$

Вычтите 8x из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+14x+49-8x=54$$

Объедините 14x и -8x, чтобы получить 6x.

$$-x^{2}+6x+49=54$$

Вычтите 54 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+6x+49-54=0$$

Вычтите 54 из 49, чтобы получить -5.

$$-x^{2}+6x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 6 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 36 к -20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 16.

$$x=\frac{-6±4}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-6±4}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±4}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 4.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Разделите -2 на -2.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{-6±4}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 4 из -6.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Разделите -10 на -2.

$$x=5$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+14x+49=2x^{2}+8x+54$$

Вычтите 2x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{2}+14x+49-2x^{2}=8x+54$$

Объедините x^{2} и -2x^{2}, чтобы получить -x^{2}.

$$-x^{2}+14x+49=8x+54$$

Вычтите 8x из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+14x+49-8x=54$$

Объедините 14x и -8x, чтобы получить 6x.

$$-x^{2}+6x+49=54$$

Вычтите 49 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+6x=54-49$$

Вычтите 49 из 54, чтобы получить 5.

$$-x^{2}+6x=5$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=\frac{5}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=\frac{5}{-1}$$

Разделите 6 на -1.

$$x^{2}-6x=\frac{5}{-1}$$

Разделите 5 на -1.

$$x^{2}-6x=-5$$

Деление -6, коэффициент x термина, 2 для получения -3. Затем добавьте квадрат -3 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-5+\left(-3\right)^{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x^{2}-6x+9=-5+9$$

Прибавьте -5 к 9.

$$x^{2}-6x+9=4$$

Коэффициент x^{2}-6x+9. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=4$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Упростите.

$$x-3=2 x-3=-2$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=1$$