Решить (x+3)^2-(2x-1)^2=16

$$( x + 3 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Найдите x

$$x=2$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 4x^{2}-4x+1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Объедините 6x и 4x, чтобы получить 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Вычтите 1 из 9, чтобы получить 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Вычтите 16 из 8, чтобы получить -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -3x^{2}+ax+bx-8. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=10 ab=-3\left(-8\right)=24$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 10.

$$a=6 b=4$$

Перепишите -3x^{2}+10x-8 как \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right)$$

Разложите 3x в первом и -4 в второй группе.

$$3x\left(-x+2\right)-4\left(-x+2\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+2=0 и 3x-4=0у.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 4x^{2}-4x+1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Объедините 6x и 4x, чтобы получить 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Вычтите 1 из 9, чтобы получить 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

Вычтите 16 из 8, чтобы получить -8.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, 10 вместо b и -8 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на -8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 100 к -96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 4.

$$x=\frac{-10±2}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{-10±2}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±2}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -10 к 2.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Привести дробь \frac{-8}{-6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±2}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2 из -10.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Разделите -12 на -6.

$$x=2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4}{3} x=2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-1\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 4x^{2}-4x+1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

Объедините 6x и 4x, чтобы получить 10x.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

Вычтите 1 из 9, чтобы получить 8.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}+10x=16-8$$

Вычтите 8 из 16, чтобы получить 8.

$$-3x^{2}+10x=8$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=\frac{8}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=\frac{8}{-3}$$

Разделите 10 на -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{-3}$$

Разделите 8 на -3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Деление -\frac{10}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Прибавьте -\frac{8}{3} к \frac{25}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Прибавьте \frac{5}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$