Решить (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Найдите v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Вычтите 2v^{2} из обеих частей уравнения.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Объедините v^{2} и -2v^{2}, чтобы получить -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Вычтите 2v из обеих частей уравнения.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Объедините 8v и -2v, чтобы получить 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Вычтите 9 из 16, чтобы получить 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -v^{2}+av+bv+7. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=7 b=-1$$

Перепишите -v^{2}+6v+7 как \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Разложите -v в первом и -1 в второй группе.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член v-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите v-7=0 и -v-1=0у.

$$v=7 v=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Вычтите 2v^{2} из обеих частей уравнения.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Объедините v^{2} и -2v^{2}, чтобы получить -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Вычтите 2v из обеих частей уравнения.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Объедините 8v и -2v, чтобы получить 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Вычтите 9 из 16, чтобы получить 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 6 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 36 к 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Решите уравнение v=\frac{-6±8}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Разделите 2 на -2.

$$v=-1$$

Решите уравнение v=\frac{-6±8}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 8 из -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Разделите -14 на -2.

$$v=7$$

Уравнение решено.

$$v=-1 v=7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Вычтите 2v^{2} из обеих частей уравнения.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Объедините v^{2} и -2v^{2}, чтобы получить -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Вычтите 2v из обеих частей уравнения.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Объедините 8v и -2v, чтобы получить 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Вычтите 16 из 9, чтобы получить -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Разделите 6 на -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Разделите -7 на -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Деление -6, коэффициент x термина, 2 для получения -3. Затем добавьте квадрат -3 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Прибавьте 7 к 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Коэффициент v^{2}-6v+9. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Упростите.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$v=7 v=-1$$