Решить (9x^2-16)-(3x-4)(2-5x)<0

$$( 9 x ^ { 2 } - 16 ) - ( 3 x - 4 ) ( 2 - 5 x ) < 0$$

Решение для x

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 3x-4 на 2-5x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$9x^{2}-16-\left(26x-15x^{2}-8\right)<0$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 26x-15x^{2}-8, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$9x^{2}-16-26x+15x^{2}+8<0$$

Объедините 9x^{2} и 15x^{2}, чтобы получить 24x^{2}.

$$24x^{2}-16-26x+8<0$$

Чтобы вычислить -8, сложите -16 и 8.

$$24x^{2}-8-26x<0$$

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}-8-26x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 24, b на -26 и c на -8.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 24\left(-8\right)}}{2\times 24}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{26±38}{48}$$

Решение x=\frac{26±38}{48} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{1}{4}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$24\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\frac{4}{3} и x+\frac{1}{4} должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-\frac{4}{3} положительное и x+\frac{1}{4} отрицательно.

$$x-\frac{4}{3}>0 x+\frac{1}{4}<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x+\frac{1}{4} положительное и x-\frac{4}{3} отрицательно.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{4}{3}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(-\frac{1}{4},\frac{4}{3}\right)$$