Решить (6-2sqrt{x})^2+6^2=8x

$$( 6 - 2 \sqrt { x } ) ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } = 8 x$$

Найдите x

$$x=36-18\sqrt{3}\approx 4,823085464$$

Действия по решению

Вычислите 6 в степени 2 и получите 36.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36=8x$$

Вычтите 8x из обеих частей уравнения.

$$\left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}.

$$36-24\sqrt{x}+4\left(\sqrt{x}\right)^{2}+36-8x=0$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$36-24\sqrt{x}+4x+36-8x=0$$

Чтобы вычислить 72, сложите 36 и 36.

$$72-24\sqrt{x}+4x-8x=0$$

Объедините 4x и -8x, чтобы получить -4x.

$$72-24\sqrt{x}-4x=0$$

Вычтите 72 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-24\sqrt{x}-4x=-72$$

Вычтите -4x из обеих частей уравнения.

$$-24\sqrt{x}=-72+4x$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(-24\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Разложите \left(-24\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\left(-24\right)^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Вычислите -24 в степени 2 и получите 576.

$$576\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(4x-72\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{x} в степени 2 и получите x.

$$576x=\left(4x-72\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(4x-72\right)^{2}.

$$576x=16x^{2}-576x+5184$$

Вычтите 16x^{2} из обеих частей уравнения.

$$576x-16x^{2}=-576x+5184$$

Прибавьте 576x к обеим частям.

$$576x-16x^{2}+576x=5184$$

Объедините 576x и 576x, чтобы получить 1152x.

$$1152x-16x^{2}=5184$$

Вычтите 5184 из обеих частей уравнения.

$$1152x-16x^{2}-5184=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-16x^{2}+1152x-5184=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -16 вместо a, 1152 вместо b и -5184 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1152^{2}-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Возведите 1152 в квадрат.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-4\left(-16\right)\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте -4 на -16.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104+64\left(-5184\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 64 на -5184.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{1327104-331776}}{2\left(-16\right)}$$

Прибавьте 1327104 к -331776.

$$x=\frac{-1152±\sqrt{995328}}{2\left(-16\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 995328.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 2 на -16.

$$x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32}$$

Решите уравнение x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1152 к 576\sqrt{3}.

$$x=\frac{576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Разделите -1152+576\sqrt{3} на -32.

$$x=36-18\sqrt{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-1152±576\sqrt{3}}{-32} при условии, что ± — минус. Вычтите 576\sqrt{3} из -1152.

$$x=\frac{-576\sqrt{3}-1152}{-32}$$

Разделите -1152-576\sqrt{3} на -32.

$$x=18\sqrt{3}+36$$

Уравнение решено.

$$x=36-18\sqrt{3} x=18\sqrt{3}+36$$

Подставьте 36-18\sqrt{3} вместо x в уравнении \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{36-18\sqrt{3}}\right)^{2}+6^{2}=8\left(36-18\sqrt{3}\right)$$

Упростите. Значение x=36-18\sqrt{3} удовлетворяет уравнению.

$$288-144\times 3^{\frac{1}{2}}=288-144\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Подставьте 18\sqrt{3}+36 вместо x в уравнении \left(6-2\sqrt{x}\right)^{2}+6^{2}=8x.

$$\left(6-2\sqrt{18\sqrt{3}+36}\right)^{2}+6^{2}=8\left(18\sqrt{3}+36\right)$$

Упростите. Значение x=18\sqrt{3}+36 не соответствует уравнению.

$$144=144\times 3^{\frac{1}{2}}+288$$

Уравнение -24\sqrt{x}=4x-72 имеет уникальное решение.

$$x=36-18\sqrt{3}$$