Решить (5x-4)^2=81

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

Найдите x

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2,6$$

$$x=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Вычтите 81 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Вычтите 81 из 16, чтобы получить -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Разделите обе части на 5.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-13. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -65.

$$1,-65 5,-13$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=-13 b=5$$

Перепишите 5x^{2}-8x-13 как \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

Вынесите за скобки x в 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

Вынесите за скобки общий член 5x-13, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x-13=0 и x+1=0у.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Вычтите 81 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

Вычтите 81 из 16, чтобы получить -65.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 25 вместо a, -40 вместо b и -65 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

Прибавьте 1600 к 6500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 8100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

Число, противоположное -40, равно 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{40±90}{50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 40 к 90.

$$x=\frac{130}{50}$$

Привести дробь \frac{130}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=\frac{13}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{40±90}{50} при условии, что ± — минус. Вычтите 90 из 40.

$$x=-\frac{50}{50}$$

Разделите -50 на 50.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-4\right)^{2}.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

Вычтите 16 из 81, чтобы получить 65.

$$25x^{2}-40x=65$$

Разделите обе части на 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

Деление на 25 аннулирует операцию умножения на 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

Привести дробь \frac{-40}{25} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

Привести дробь \frac{65}{25} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

Деление -\frac{8}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{4}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{4}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{4}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Прибавьте \frac{13}{5} к \frac{16}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Прибавьте \frac{4}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$