Решить (5x-1)^2=16

$$( 5 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Вычтите 16 из 1, чтобы получить -15.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Разделите обе части на 5.

$$5x^{2}-2x-3=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-2 ab=5\left(-3\right)=-15$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -15.

$$1,-15 3,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -2.

$$a=-5 b=3$$

Перепишите 5x^{2}-2x-3 как \left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right)$$

Разложите 5x в первом и 3 в второй группе.

$$5x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(5x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 5x+3=0у.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Вычтите 16 из 1, чтобы получить -15.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 25 вместо a, -10 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+1500}}{2\times 25}$$

Прибавьте 100 к 1500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 1600.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±40}{2\times 25}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±40}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{10±40}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{10±40}{50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 40.

$$x=\frac{50}{50}$$

Разделите 50 на 50.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{10±40}{50} при условии, что ± — минус. Вычтите 40 из 10.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Привести дробь \frac{-30}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$25x^{2}-10x=16-1$$

Вычтите 1 из 16, чтобы получить 15.

$$25x^{2}-10x=15$$

Разделите обе части на 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=\frac{15}{25}$$

Деление на 25 аннулирует операцию умножения на 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=\frac{15}{25}$$

Привести дробь \frac{-10}{25} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{15}{25}$$

Привести дробь \frac{15}{25} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}$$

Деление -\frac{2}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{3}{5}+\frac{1}{25}$$

Прибавьте \frac{3}{5} к \frac{1}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{4}{5}$$

Прибавьте \frac{1}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$