Решить (5+a)^2+a=8+a

$$( 5 + a ) ^ { 2 } + a = 8 + a$$

Найдите a

$$a=2\sqrt{2}-5\approx -2,171572875$$

$$a=-2\sqrt{2}-5\approx -7,828427125$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(5+a\right)^{2}.

$$25+10a+a^{2}+a=8+a$$

Объедините 10a и a, чтобы получить 11a.

$$25+11a+a^{2}=8+a$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$25+11a+a^{2}-8=a$$

Вычтите 8 из 25, чтобы получить 17.

$$17+11a+a^{2}=a$$

Вычтите a из обеих частей уравнения.

$$17+11a+a^{2}-a=0$$

Объедините 11a и -a, чтобы получить 10a.

$$17+10a+a^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$a^{2}+10a+17=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 10 вместо b и 17 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 17}}{2}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 17}}{2}$$

Умножьте -4 на 17.

$$a=\frac{-10±\sqrt{100-68}}{2}$$

Прибавьте 100 к -68.

$$a=\frac{-10±\sqrt{32}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 32.

$$a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2}$$

Решите уравнение a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -10 к 4\sqrt{2}.

$$a=\frac{4\sqrt{2}-10}{2}$$

Разделите -10+4\sqrt{2} на 2.

$$a=2\sqrt{2}-5$$

Решите уравнение a=\frac{-10±4\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{2} из -10.

$$a=\frac{-4\sqrt{2}-10}{2}$$

Разделите -10-4\sqrt{2} на 2.

$$a=-2\sqrt{2}-5$$

Уравнение решено.

$$a=2\sqrt{2}-5 a=-2\sqrt{2}-5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(5+a\right)^{2}.

$$25+10a+a^{2}+a=8+a$$

Объедините 10a и a, чтобы получить 11a.

$$25+11a+a^{2}=8+a$$

Вычтите a из обеих частей уравнения.

$$25+11a+a^{2}-a=8$$

Объедините 11a и -a, чтобы получить 10a.

$$25+10a+a^{2}=8$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$10a+a^{2}=8-25$$

Вычтите 25 из 8, чтобы получить -17.

$$10a+a^{2}=-17$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$a^{2}+10a=-17$$

Деление 10, коэффициент x термина, 2 для получения 5. Затем добавьте квадрат 5 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$a^{2}+10a+5^{2}=-17+5^{2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$a^{2}+10a+25=-17+25$$

Прибавьте -17 к 25.

$$a^{2}+10a+25=8$$

Коэффициент a^{2}+10a+25. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+5\right)^{2}=8$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(a+5\right)^{2}}=\sqrt{8}$$

Упростите.

$$a+5=2\sqrt{2} a+5=-2\sqrt{2}$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$a=2\sqrt{2}-5 a=-2\sqrt{2}-5$$