Решить (4x-1)(4x+1)=(5x-1)^2

$$( 4 x - 1 ) ( 4 x + 1 ) = ( 5 x - 1 ) ^ { 2 }$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}\approx 0,849527923$$

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}\approx 0,261583188$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Учтите \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 1 в квадрат.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Разложите \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Вычислите 4 в степени 2 и получите 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Вычтите 25x^{2} из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Объедините 16x^{2} и -25x^{2}, чтобы получить -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$-9x^{2}-1+10x-1=0$$

Вычтите 1 из -1, чтобы получить -2.

$$-9x^{2}-2+10x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-9x^{2}+10x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -9 вместо a, 10 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-9\right)\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте -4 на -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+36\left(-2\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 36 на -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-72}}{2\left(-9\right)}$$

Прибавьте 100 к -72.

$$x=\frac{-10±\sqrt{28}}{2\left(-9\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 28.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 2 на -9.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -10 к 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Разделите -10+2\sqrt{7} на -18.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±2\sqrt{7}}{-18} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{7} из -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-10}{-18}$$

Разделите -10-2\sqrt{7} на -18.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{9} x=\frac{\sqrt{7}+5}{9}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Учтите \left(4x-1\right)\left(4x+1\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Возведите 1 в квадрат.

$$\left(4x\right)^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Разложите \left(4x\right)^{2}.

$$4^{2}x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Вычислите 4 в степени 2 и получите 16.

$$16x^{2}-1=\left(5x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-1=25x^{2}-10x+1$$

Вычтите 25x^{2} из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}-1-25x^{2}=-10x+1$$

Объедините 16x^{2} и -25x^{2}, чтобы получить -9x^{2}.

$$-9x^{2}-1=-10x+1$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$-9x^{2}-1+10x=1$$

Прибавьте 1 к обеим частям.

$$-9x^{2}+10x=1+1$$

Чтобы вычислить 2, сложите 1 и 1.

$$-9x^{2}+10x=2$$

Разделите обе части на -9.

$$\frac{-9x^{2}+10x}{-9}=\frac{2}{-9}$$

Деление на -9 аннулирует операцию умножения на -9.

$$x^{2}+\frac{10}{-9}x=\frac{2}{-9}$$

Разделите 10 на -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=\frac{2}{-9}$$

Разделите 2 на -9.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x=-\frac{2}{9}$$

Деление -\frac{10}{9}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{9}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{9} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{5}{9}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{9} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=-\frac{2}{9}+\frac{25}{81}$$

Прибавьте -\frac{2}{9} к \frac{25}{81}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}=\frac{7}{81}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{10}{9}x+\frac{25}{81}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}=\frac{7}{81}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{81}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{9}=\frac{\sqrt{7}}{9} x-\frac{5}{9}=-\frac{\sqrt{7}}{9}$$

Прибавьте \frac{5}{9} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{9} x=\frac{5-\sqrt{7}}{9}$$