Решить (4x+6)^2=2x+3

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

Найдите x

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1,375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Объедините 48x и -2x, чтобы получить 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Вычтите 3 из 36, чтобы получить 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 16x^{2}+ax+bx+33. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 528.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 46.

$$a=22 b=24$$

Перепишите 16x^{2}+46x+33 как \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right).

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

Разложите 2x в первом и 3 в второй группе.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

Вынесите за скобки общий член 8x+11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 8x+11=0 и 2x+3=0у.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Объедините 48x и -2x, чтобы получить 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Вычтите 3 из 36, чтобы получить 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 16 вместо a, 46 вместо b и 33 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Возведите 46 в квадрат.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на 33.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

Прибавьте 2116 к -2112.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из 4.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{-46±2}{32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -46 к 2.

$$x=-\frac{44}{32}$$

Привести дробь \frac{-44}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{11}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-46±2}{32} при условии, что ± — минус. Вычтите 2 из -46.

$$x=-\frac{48}{32}$$

Привести дробь \frac{-48}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Объедините 48x и -2x, чтобы получить 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Вычтите 36 из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

Вычтите 36 из 3, чтобы получить -33.

$$16x^{2}+46x=-33$$

Разделите обе части на 16.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

Деление на 16 аннулирует операцию умножения на 16.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

Привести дробь \frac{46}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

Деление \frac{23}{8}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{23}{16}. Затем добавьте квадрат \frac{23}{16} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

Возведите \frac{23}{16} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

Прибавьте -\frac{33}{16} к \frac{529}{256}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

Упростите.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

Вычтите \frac{23}{16} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$