Решить (4x+1)^2+9(4x+1)=-18

$$( 4 x + 1 ) ^ { 2 } + 9 ( 4 x + 1 ) = - 18$$

Найдите x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4x+1\right)^{2}.

$$16x^{2}+8x+1+9\left(4x+1\right)=-18$$

Чтобы умножить 9 на 4x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$16x^{2}+8x+1+36x+9=-18$$

Объедините 8x и 36x, чтобы получить 44x.

$$16x^{2}+44x+1+9=-18$$

Чтобы вычислить 10, сложите 1 и 9.

$$16x^{2}+44x+10=-18$$

Прибавьте 18 к обеим частям.

$$16x^{2}+44x+10+18=0$$

Чтобы вычислить 28, сложите 10 и 18.

$$16x^{2}+44x+28=0$$

Разделите обе части на 4.

$$4x^{2}+11x+7=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx+7. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=4\times 7=28$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=4 b=7$$

Перепишите 4x^{2}+11x+7 как \left(4x^{2}+4x\right)+\left(7x+7\right).

$$\left(4x^{2}+4x\right)+\left(7x+7\right)$$

Разложите 4x в первом и 7 в второй группе.

$$4x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+1\right)\left(4x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+1=0 и 4x+7=0у.

$$x=-1 x=-\frac{7}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4x+1\right)^{2}.

$$16x^{2}+8x+1+9\left(4x+1\right)=-18$$

Чтобы умножить 9 на 4x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$16x^{2}+8x+1+36x+9=-18$$

Объедините 8x и 36x, чтобы получить 44x.

$$16x^{2}+44x+1+9=-18$$

Чтобы вычислить 10, сложите 1 и 9.

$$16x^{2}+44x+10=-18$$

Прибавьте 18 к обеим частям.

$$16x^{2}+44x+10+18=0$$

Чтобы вычислить 28, сложите 10 и 18.

$$16x^{2}+44x+28=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 16 вместо a, 44 вместо b и 28 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\times 16\times 28}}{2\times 16}$$

Возведите 44 в квадрат.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\times 16\times 28}}{2\times 16}$$

Умножьте -4 на 16.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-64\times 28}}{2\times 16}$$

Умножьте -64 на 28.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1792}}{2\times 16}$$

Прибавьте 1936 к -1792.

$$x=\frac{-44±\sqrt{144}}{2\times 16}$$

Извлеките квадратный корень из 144.

$$x=\frac{-44±12}{2\times 16}$$

Умножьте 2 на 16.

$$x=\frac{-44±12}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{-44±12}{32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -44 к 12.

$$x=-\frac{32}{32}$$

Разделите -32 на 32.

$$x=-1$$

Решите уравнение x=\frac{-44±12}{32} при условии, что ± — минус. Вычтите 12 из -44.

$$x=-\frac{56}{32}$$

Привести дробь \frac{-56}{32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=-1 x=-\frac{7}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(4x+1\right)^{2}.

$$16x^{2}+8x+1+9\left(4x+1\right)=-18$$

Чтобы умножить 9 на 4x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$16x^{2}+8x+1+36x+9=-18$$

Объедините 8x и 36x, чтобы получить 44x.

$$16x^{2}+44x+1+9=-18$$

Чтобы вычислить 10, сложите 1 и 9.

$$16x^{2}+44x+10=-18$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$16x^{2}+44x=-18-10$$

Вычтите 10 из -18, чтобы получить -28.

$$16x^{2}+44x=-28$$

Разделите обе части на 16.

$$\frac{16x^{2}+44x}{16}=-\frac{28}{16}$$

Деление на 16 аннулирует операцию умножения на 16.

$$x^{2}+\frac{44}{16}x=-\frac{28}{16}$$

Привести дробь \frac{44}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=-\frac{28}{16}$$

Привести дробь \frac{-28}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=-\frac{7}{4}$$

Деление \frac{11}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{4}+\frac{121}{64}$$

Прибавьте -\frac{7}{4} к \frac{121}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{9}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{3}{8}$$

Вычтите \frac{11}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=-1 x=-\frac{7}{4}$$