Решить (4-k)*(k-5)+42=0

$$( 4 - k ) \times ( k - 5 ) + 42 = 0$$

Найдите k

$$k=-2$$

$$k=11$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы умножить 4-k на k-5, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$9k-20-k^{2}+42=0$$

Чтобы вычислить 22, сложите -20 и 42.

$$9k+22-k^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-k^{2}+9k+22=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -k^{2}+ak+bk+22. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=9 ab=-22=-22$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -22.

$$-1,22 -2,11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+22=21 -2+11=9$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 9.

$$a=11 b=-2$$

Перепишите -k^{2}+9k+22 как \left(-k^{2}+11k\right)+\left(-2k+22\right).

$$\left(-k^{2}+11k\right)+\left(-2k+22\right)$$

Разложите -k в первом и -2 в второй группе.

$$-k\left(k-11\right)-2\left(k-11\right)$$

Вынесите за скобки общий член k-11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(k-11\right)\left(-k-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите k-11=0 и -k-2=0у.

$$k=11 k=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 4-k на k-5, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$9k-20-k^{2}+42=0$$

Чтобы вычислить 22, сложите -20 и 42.

$$9k+22-k^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-k^{2}+9k+22=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 9 вместо b и 22 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\times 22}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\times 22}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+4\times 22}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 22.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+88}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 81 к 88.

$$k=\frac{-9±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$k=\frac{-9±13}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$k=\frac{-9±13}{-2}$$

Решите уравнение k=\frac{-9±13}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к 13.

$$k=\frac{4}{-2}$$

Разделите 4 на -2.

$$k=-2$$

Решите уравнение k=\frac{-9±13}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -9.

$$k=-\frac{22}{-2}$$

Разделите -22 на -2.

$$k=11$$

Уравнение решено.

$$k=-2 k=11$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить 4-k на k-5, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$9k-20-k^{2}+42=0$$

Чтобы вычислить 22, сложите -20 и 42.

$$9k+22-k^{2}=0$$

Вычтите 22 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$9k-k^{2}=-22$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-k^{2}+9k=-22$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-k^{2}+9k}{-1}=-\frac{22}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$k^{2}+\frac{9}{-1}k=-\frac{22}{-1}$$

Разделите 9 на -1.

$$k^{2}-9k=-\frac{22}{-1}$$

Разделите -22 на -1.

$$k^{2}-9k=22$$

Деление -9, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{9}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$k^{2}-9k+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=22+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$k^{2}-9k+\frac{81}{4}=22+\frac{81}{4}$$

Прибавьте 22 к \frac{81}{4}.

$$k^{2}-9k+\frac{81}{4}=\frac{169}{4}$$

Коэффициент k^{2}-9k+\frac{81}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(k-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Упростите.

$$k-\frac{9}{2}=\frac{13}{2} k-\frac{9}{2}=-\frac{13}{2}$$

Прибавьте \frac{9}{2} к обеим частям уравнения.

$$k=11 k=-2$$