Решить (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Найдите x

$$x=8$$

$$x=15$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Вычислите 17 в степени 2 и получите 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Вычтите 289 из обеих частей уравнения.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Вычтите 289 из 529, чтобы получить 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Разделите обе части на 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+120. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -23.

$$a=-15 b=-8$$

Перепишите x^{2}-23x+120 как \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Разложите x в первом и -8 в второй группе.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-15, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-15=0 и x-8=0у.

$$x=15 x=8$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Вычислите 17 в степени 2 и получите 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Вычтите 289 из обеих частей уравнения.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Вычтите 289 из 529, чтобы получить 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -46 вместо b и 240 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Возведите -46 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Прибавьте 2116 к -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Число, противоположное -46, равно 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{46±14}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 46 к 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Разделите 60 на 4.

$$x=15$$

Решите уравнение x=\frac{46±14}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Разделите 32 на 4.

$$x=8$$

Уравнение решено.

$$x=15 x=8$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Объедините x^{2} и x^{2}, чтобы получить 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Вычислите 17 в степени 2 и получите 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Вычтите 529 из обеих частей уравнения.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Вычтите 529 из 289, чтобы получить -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Разделите -46 на 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Разделите -240 на 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Деление -23, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{23}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{23}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{23}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Прибавьте -120 к \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Коэффициент x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Прибавьте \frac{23}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=15 x=8$$