Решить (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Разложить на множители

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Действия по решению

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: -10x^{2}+ax+bx+22. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 51.

$$a=55 b=-4$$

Перепишите -10x^{2}+51x+22 как \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Разложите -5x в первом и -2 в второй группе.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Возведите 51 в квадрат.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Умножьте -4 на -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Умножьте 40 на 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Прибавьте 2601 к 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Умножьте 2 на -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Решите уравнение x=\frac{-51±59}{-20} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -51 к 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Привести дробь \frac{8}{-20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-51±59}{-20} при условии, что ± — минус. Вычтите 59 из -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Привести дробь \frac{-110}{-20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте -\frac{2}{5} вместо x_{1} и \frac{11}{2} вместо x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Прибавьте \frac{2}{5} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Вычтите \frac{11}{2} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Умножьте \frac{-5x-2}{-5} на \frac{-2x+11}{-2}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Умножьте -5 на -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Сократите наибольший общий делитель 10 в -10 и 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Вычислить

$$22+51x-10x^{2}$$