Решить (20-3x)(12-2x)=112

$$( 20 - 3 x ) ( 12 - 2 x ) = 112$$

Найдите x

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 20-3x на 12-2x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Вычтите 112 из обеих частей уравнения.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Вычтите 112 из 240, чтобы получить 128.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, -76 вместо b и 128 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Возведите -76 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Прибавьте 5776 к -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 2704.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

Число, противоположное -76, равно 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{76±52}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 76 к 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

Привести дробь \frac{128}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{32}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{76±52}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 52 из 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

Разделите 24 на 12.

$$x=2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить 20-3x на 12-2x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Вычтите 240 из обеих частей уравнения.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Вычтите 240 из 112, чтобы получить -128.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

Привести дробь \frac{-76}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

Привести дробь \frac{-128}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Деление -\frac{38}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{19}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{19}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{19}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

Прибавьте -\frac{64}{3} к \frac{361}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Прибавьте \frac{19}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$