Решить (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}+10x+25, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Объедините -12x и -10x, чтобы получить -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Вычтите 25 из 9, чтобы получить -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Прибавьте 23 к обеим частям.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Чтобы вычислить 7, сложите -16 и 23.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 3x^{2}+ax+bx+7. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -22.

$$a=-21 b=-1$$

Перепишите 3x^{2}-22x+7 как \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Разложите 3x в первом и -1 в второй группе.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и 3x-1=0у.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}+10x+25, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Объедините -12x и -10x, чтобы получить -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Вычтите 25 из 9, чтобы получить -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Прибавьте 23 к обеим частям.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Чтобы вычислить 7, сложите -16 и 23.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, -22 вместо b и 7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Возведите -22 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Прибавьте 484 к -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Число, противоположное -22, равно 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{22±20}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 22 к 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Разделите 42 на 6.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{22±20}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 20 из 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Привести дробь \frac{2}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}+10x+25, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Объедините 4x^{2} и -x^{2}, чтобы получить 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Объедините -12x и -10x, чтобы получить -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Вычтите 25 из 9, чтобы получить -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Прибавьте 16 к обеим частям.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Чтобы вычислить -7, сложите -23 и 16.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Деление -\frac{22}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Прибавьте -\frac{7}{3} к \frac{121}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Прибавьте \frac{11}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$