Решить (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Чтобы найти противоположное значение выражения 9x^{2}-12x+4, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Объедините -9x^{2} и -40x^{2}, чтобы получить -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Прибавьте 205 к обеим частям.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Чтобы вычислить 201, сложите -4 и 205.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Чтобы умножить -5x на 7-3x, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Чтобы умножить -35x+15x^{2} на 7+3x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Объедините 16x и -245x, чтобы получить -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Объедините 4x^{2} и -49x^{2}, чтобы получить -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Объедините -229x и 12x, чтобы получить -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Чтобы вычислить 217, сложите 16 и 201.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Упорядочите уравнение и приведите его к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью, и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 217, а q делит старший коэффициент 45. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 на x-1, чтобы получить 45x^{2}-217. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 45, b на 0 и c на -217.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Решение 45x^{2}-217=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$