Решить (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Найдите x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы умножить 2x+3 на x^{2}-16, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Чтобы умножить x-4 на x+40, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Объедините 3x^{2} и x^{2}, чтобы получить 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Объедините -32x и 36x, чтобы получить 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Вычтите 160 из -48, чтобы получить -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Чтобы умножить 2 на x-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Чтобы умножить 2x-8 на x^{2}-16, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Вычтите 2x^{3} из обеих частей уравнения.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Объедините 2x^{3} и -2x^{3}, чтобы получить 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Прибавьте 32x к обеим частям.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Объедините 4x и 32x, чтобы получить 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Прибавьте 8x^{2} к обеим частям.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Объедините 4x^{2} и 8x^{2}, чтобы получить 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Вычтите 128 из обеих частей уравнения.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Вычтите 128 из -208, чтобы получить -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Разделите обе части на 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-28. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-4 b=7$$

Перепишите x^{2}+3x-28 как \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Разложите x в первом и 7 в второй группе.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-4=0 и x+7=0у.

$$x=4 x=-7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 2x+3 на x^{2}-16, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Чтобы умножить x-4 на x+40, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Объедините 3x^{2} и x^{2}, чтобы получить 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Объедините -32x и 36x, чтобы получить 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Вычтите 160 из -48, чтобы получить -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Чтобы умножить 2 на x-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Чтобы умножить 2x-8 на x^{2}-16, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Вычтите 2x^{3} из обеих частей уравнения.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Объедините 2x^{3} и -2x^{3}, чтобы получить 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Прибавьте 32x к обеим частям.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Объедините 4x и 32x, чтобы получить 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Прибавьте 8x^{2} к обеим частям.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Объедините 4x^{2} и 8x^{2}, чтобы получить 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Вычтите 128 из обеих частей уравнения.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Вычтите 128 из -208, чтобы получить -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 12 вместо a, 36 вместо b и -336 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Возведите 36 в квадрат.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -4 на 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Умножьте -48 на -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Прибавьте 1296 к 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Извлеките квадратный корень из 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Умножьте 2 на 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Решите уравнение x=\frac{-36±132}{24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -36 к 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Разделите 96 на 24.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{-36±132}{24} при условии, что ± — минус. Вычтите 132 из -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Разделите -168 на 24.

$$x=-7$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=-7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить 2x+3 на x^{2}-16, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Чтобы умножить x-4 на x+40, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Объедините 3x^{2} и x^{2}, чтобы получить 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Объедините -32x и 36x, чтобы получить 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Вычтите 160 из -48, чтобы получить -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Чтобы умножить 2 на x-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Чтобы умножить 2x-8 на x^{2}-16, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Вычтите 2x^{3} из обеих частей уравнения.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Объедините 2x^{3} и -2x^{3}, чтобы получить 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Прибавьте 32x к обеим частям.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Объедините 4x и 32x, чтобы получить 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Прибавьте 8x^{2} к обеим частям.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Объедините 4x^{2} и 8x^{2}, чтобы получить 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Прибавьте 208 к обеим частям.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Чтобы вычислить 336, сложите 128 и 208.

$$36x+12x^{2}=336$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Разделите обе части на 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Деление на 12 аннулирует операцию умножения на 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Разделите 36 на 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Разделите 336 на 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Деление 3, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 28 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Коэффициент x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=4 x=-7$$