Решить (2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Найдите x

$$x=-9$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Вычислите 15 в степени 2 и получите 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Вычтите 225 из 9, чтобы получить -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Вычислите 10 в степени 2 и получите 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}-2x+1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Вычтите 1 из 100, чтобы получить 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Вычтите 99 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Вычтите 99 из -216, чтобы получить -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Прибавьте x^{2} к обеим частям.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Объедините 4x^{2} и x^{2}, чтобы получить 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Объедините 12x и -2x, чтобы получить 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Разделите обе части на 5.

$$x^{2}+2x-63=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-63. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-7 b=9$$

Перепишите x^{2}+2x-63 как \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

Разложите x в первом и 9 в второй группе.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x+9=0у.

$$x=7 x=-9$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Вычислите 15 в степени 2 и получите 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Вычтите 225 из 9, чтобы получить -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Вычислите 10 в степени 2 и получите 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}-2x+1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Вычтите 1 из 100, чтобы получить 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Вычтите 99 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Вычтите 99 из -216, чтобы получить -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Прибавьте x^{2} к обеим частям.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Объедините 4x^{2} и x^{2}, чтобы получить 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Объедините 12x и -2x, чтобы получить 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 10 вместо b и -315 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -315.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

Прибавьте 100 к 6300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 6400.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±80}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -10 к 80.

$$x=\frac{70}{10}$$

Разделите 70 на 10.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{-10±80}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 80 из -10.

$$x=-\frac{90}{10}$$

Разделите -90 на 10.

$$x=-9$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=-9$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Вычислите 15 в степени 2 и получите 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Вычтите 225 из 9, чтобы получить -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Вычислите 10 в степени 2 и получите 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Чтобы найти противоположное значение выражения x^{2}-2x+1, необходимо найти противоположное значение для каждого члена.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Вычтите 1 из 100, чтобы получить 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Прибавьте x^{2} к обеим частям.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

Объедините 4x^{2} и x^{2}, чтобы получить 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

Вычтите 2x из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

Объедините 12x и -2x, чтобы получить 10x.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

Прибавьте 216 к обеим частям.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

Чтобы вычислить 315, сложите 99 и 216.

$$5x^{2}+10x=315$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

Разделите 10 на 5.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

Разделите 315 на 5.

$$x^{2}+2x=63$$

Деление 2, коэффициент x термина, 2 для получения 1. Затем добавьте квадрат 1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

Прибавьте 63 к 1.

$$x^{2}+2x+1=64$$

Коэффициент x^{2}+2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Упростите.

$$x+1=8 x+1=-8$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x=7 x=-9$$