Решить (16-x)(9-x)=112

$$( 16 - x ) ( 9 - x ) = 112$$

Найдите x

$$x = \frac{25 - \sqrt{497}}{2} \approx 1,353251595$$

$$x = \frac{\sqrt{497} + 25}{2} \approx 23,646748405$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 16-x на 9-x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$144-25x+x^{2}=112$$

Вычтите 112 из обеих частей уравнения.

$$144-25x+x^{2}-112=0$$

Вычтите 112 из 144, чтобы получить 32.

$$32-25x+x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-25x+32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -25 вместо b и 32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 32}}{2}$$

Возведите -25 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 32}}{2}$$

Умножьте -4 на 32.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-128}}{2}$$

Прибавьте 625 к -128.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{497}}{2}$$

Число, противоположное -25, равно 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{497}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{25±\sqrt{497}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 25 к \sqrt{497}.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{25±\sqrt{497}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{497} из 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить 16-x на 9-x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$144-25x+x^{2}=112$$

Вычтите 144 из обеих частей уравнения.

$$-25x+x^{2}=112-144$$

Вычтите 144 из 112, чтобы получить -32.

$$-25x+x^{2}=-32$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-25x=-32$$

Деление -25, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{25}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{25}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{25}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-32+\frac{625}{4}$$

Прибавьте -32 к \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{497}{4}$$

Коэффициент x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{497}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{497}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{\sqrt{497}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{\sqrt{497}}{2}$$

Прибавьте \frac{25}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{497}+25}{2} x=\frac{25-\sqrt{497}}{2}$$