Решить (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Найдите x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычислите 100 в степени 2 и получите 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 20000, сложите 10000 и 10000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Вычтите 400x из обеих частей уравнения.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Объедините 200x и -400x, чтобы получить -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Вычтите 10000 из обеих частей уравнения.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Вычтите 10000 из 20000, чтобы получить 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -3x^{2}+ax+bx+10000. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -200.

$$a=100 b=-300$$

Перепишите -3x^{2}-200x+10000 как \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Разложите -x в первом и -100 в второй группе.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-100, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-100=0 и -x-100=0у.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычислите 100 в степени 2 и получите 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 20000, сложите 10000 и 10000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Вычтите 400x из обеих частей уравнения.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Объедините 200x и -400x, чтобы получить -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Вычтите 10000 из обеих частей уравнения.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Вычтите 10000 из 20000, чтобы получить 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, -200 вместо b и 10000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите -200 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 40000 к 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Число, противоположное -200, равно 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{200±400}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 200 к 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Разделите 600 на -6.

$$x=-100$$

Решите уравнение x=\frac{200±400}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 400 из 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Привести дробь \frac{-200}{-6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычислите 100 в степени 2 и получите 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Чтобы вычислить 20000, сложите 10000 и 10000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Вычтите 4x^{2} из обеих частей уравнения.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Объедините x^{2} и -4x^{2}, чтобы получить -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Вычтите 400x из обеих частей уравнения.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Объедините 200x и -400x, чтобы получить -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Вычтите 20000 из обеих частей уравнения.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Вычтите 20000 из 10000, чтобы получить -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Разделите -200 на -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Разделите -10000 на -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Деление \frac{200}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{100}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{100}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{100}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Прибавьте \frac{10000}{3} к \frac{10000}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Вычтите \frac{100}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$