Решить (x^2-5x+3)=8

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

Найдите x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5.854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0.854101966$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

Если из 8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

Вычтите 8 из 3.

$$x^{2}-5x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -5 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

Прибавьте 25 к 20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 45.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{5} из 5.

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x+3=8$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-5x=8-3$$

Вычтите 3 из 8.

$$x^{2}-5x=5$$

Разделите -5, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 5 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

Разложите x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$