Решить (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24,4375-5,273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24,4375+5,273385416i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы возвести \frac{6}{25+x} в степень, возведите в степень числитель и знаменатель, а затем выполните деление.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Отобразить \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x как одну дробь.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Вычислите 6 в степени 2 и получите 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Вычтите 32 из обеих частей уравнения.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

Разложите на множители выражение 625+50x+x^{2}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Умножьте 32 на \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Поскольку числа \frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} и \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию вычитания с помощью числителей.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Выполните умножение в 36x-32\left(x+25\right)^{2}.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Приведите подобные члены в 36x-32x^{2}-1600x-20000.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Переменная x не может равняться -25, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на \left(x+25\right)^{2}.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -32 вместо a, -1564 вместо b и -20000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Возведите -1564 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Умножьте -4 на -32.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Умножьте 128 на -20000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

Прибавьте 2446096 к -2560000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -113904.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Число, противоположное -1564, равно 1564.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Умножьте 2 на -32.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

Решите уравнение x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1564 к 12i\sqrt{791}.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

Разделите 1564+12i\sqrt{791} на -64.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} при условии, что ± — минус. Вычтите 12i\sqrt{791} из 1564.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

Разделите 1564-12i\sqrt{791} на -64.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы возвести \frac{6}{25+x} в степень, возведите в степень числитель и знаменатель, а затем выполните деление.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Отобразить \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x как одну дробь.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Вычислите 6 в степени 2 и получите 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Переменная x не может равняться -25, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе части уравнения на \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

Чтобы умножить 32 на x^{2}+50x+625, используйте свойство дистрибутивности.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

Вычтите 32x^{2} из обеих частей уравнения.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

Вычтите 1600x из обеих частей уравнения.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

Объедините 36x и -1600x, чтобы получить -1564x.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

Разделите обе части на -32.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

Деление на -32 аннулирует операцию умножения на -32.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

Привести дробь \frac{-1564}{-32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

Разделите 20000 на -32.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

Деление \frac{391}{8}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{391}{16}. Затем добавьте квадрат \frac{391}{16} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

Возведите \frac{391}{16} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

Прибавьте -625 к \frac{152881}{256}.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

Упростите.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

Вычтите \frac{391}{16} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$