Решить z^2-25z+16=0

$${ z }^{ 2 } -25z+16 = 0$$

Найдите z

$$z = \frac{\sqrt{561} + 25}{2} \approx 24,342719282$$

$$z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}\approx 0,657280718$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$z^{2}-25z+16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -25 вместо b и 16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Возведите -25 в квадрат.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 16}}{2}$$

Умножьте -4 на 16.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-64}}{2}$$

Прибавьте 625 к -64.

$$z=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{561}}{2}$$

Число, противоположное -25, равно 25.

$$z=\frac{25±\sqrt{561}}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{25±\sqrt{561}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 25 к \sqrt{561}.

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{25±\sqrt{561}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{561} из 25.

$$z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$

Уравнение решено.

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2} z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-25z+16=0$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$z^{2}-25z+16-16=-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$z^{2}-25z=-16$$

Деление -25, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{25}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{25}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}-25z+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-16+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{25}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}-25z+\frac{625}{4}=-16+\frac{625}{4}$$

Прибавьте -16 к \frac{625}{4}.

$$z^{2}-25z+\frac{625}{4}=\frac{561}{4}$$

Коэффициент z^{2}-25z+\frac{625}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{561}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{561}{4}}$$

Упростите.

$$z-\frac{25}{2}=\frac{\sqrt{561}}{2} z-\frac{25}{2}=-\frac{\sqrt{561}}{2}$$

Прибавьте \frac{25}{2} к обеим частям уравнения.

$$z=\frac{\sqrt{561}+25}{2} z=\frac{25-\sqrt{561}}{2}$$