Решить z^2+27=10z

$${ z }^{ 2 } +27 = 10z$$

Найдите z

$$z=5+\sqrt{2}i\approx 5+1,414213562i$$

$$z=-\sqrt{2}i+5\approx 5-1,414213562i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 10z из обеих частей уравнения.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$z^{2}-10z+27=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -10 вместо b и 27 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 27}}{2}$$

Умножьте -4 на 27.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-108}}{2}$$

Прибавьте 100 к -108.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -8.

$$z=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 2i\sqrt{2}.

$$z=\frac{10+2\sqrt{2}i}{2}$$

Разделите 10+2i\sqrt{2} на 2.

$$z=5+\sqrt{2}i$$

Решите уравнение z=\frac{10±2\sqrt{2}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{2} из 10.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}i+10}{2}$$

Разделите 10-2i\sqrt{2} на 2.

$$z=-\sqrt{2}i+5$$

Уравнение решено.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите 10z из обеих частей уравнения.

$$z^{2}+27-10z=0$$

Вычтите 27 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$z^{2}-10z=-27$$

Деление -10, коэффициент x термина, 2 для получения -5. Затем добавьте квадрат -5 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}-10z+\left(-5\right)^{2}=-27+\left(-5\right)^{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$z^{2}-10z+25=-27+25$$

Прибавьте -27 к 25.

$$z^{2}-10z+25=-2$$

Коэффициент z^{2}-10z+25. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-5\right)^{2}=-2$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z-5\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Упростите.

$$z-5=\sqrt{2}i z-5=-\sqrt{2}i$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$z=5+\sqrt{2}i z=-\sqrt{2}i+5$$