Решить y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Найдите y

$$y=6$$

$$y=9$$

Способ разложения на множители

Прибавьте 54 к обеим частям.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор y^{2}-15y+54 с помощью формулы y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-15 ab=54$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -15.

$$a=-9 b=-6$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(y+a\right)\left(y+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-9=0 и y-6=0у.

$$y=9 y=6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 54 к обеим частям.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: y^{2}+ay+by+54. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -15.

$$a=-9 b=-6$$

Перепишите y^{2}-15y+54 как \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Разложите y в первом и -6 в второй группе.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член y-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-9=0 и y-6=0у.

$$y=9 y=6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y^{2}-15y=-54$$

Прибавьте 54 к обеим частям уравнения.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Если из -54 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Вычтите -54 из 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -15 вместо b и 54 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Возведите -15 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Умножьте -4 на 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Прибавьте 225 к -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Число, противоположное -15, равно 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Решите уравнение y=\frac{15±3}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 15 к 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Разделите 18 на 2.

$$y=9$$

Решите уравнение y=\frac{15±3}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$y=6$$

Уравнение решено.

$$y=9 y=6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Деление -15, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{15}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{15}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{15}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Прибавьте -54 к \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Коэффициент y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Упростите.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Прибавьте \frac{15}{2} к обеим частям уравнения.

$$y=9 y=6$$