Решить x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=1$$

Действия по решению

Вычтите x^{4} из обеих частей уравнения.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

Упорядочите уравнение и приведите его к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью, и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 на x-1, чтобы получить x^{5}+x^{4}-x-1. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{5}+x^{4}-x-1 на x-1, чтобы получить x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 на x+1, чтобы получить x^{3}+x^{2}+x+1. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 1, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}+x^{2}+x+1 на x+1, чтобы получить x^{2}+1. Устраните уравнение, в котором результат равняется 0.

$$x^{2}+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 0 и c на 1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Решения нет, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел.

$$x\in \emptyset$$

Перечислите все найденные решения.

$$x=1 x=-1$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$