Решить x^4-4x^2+3

$${ x }^{ 4 } -4 { x }^{ 2 } +3$$

Разложить на множители

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Действия по решению

Чтобы разложить выражение на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит это выражение, а в правой — 0.

$$x^{4}-4x^{2}+3=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 3, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{4}-4x^{2}+3 на x-1, чтобы получить x^{3}+x^{2}-3x-3. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x-3=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -3, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±3,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=-1$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}+x^{2}-3x-3 на x+1, чтобы получить x^{2}-3. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$x^{2}-3=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 0 и c на -3.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{2}$$

Решение x^{2}-3=0 уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=-\sqrt{3} x=\sqrt{3}$$

Перепишите разложенное на множители выражение, используя полученные корни. Многочлен x^{2}-3 не разлагается на множители, так как у него нет рациональных корней.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-3\right)$$

Вычислить

$$x^{4}-4x^{2}+3$$