Решить x^4-18x^2+81

$${ x }^{ 4 } -18 { x }^{ 2 } +81$$

Разложить на множители

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Действия по решению

Чтобы разложить выражение на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит это выражение, а в правой — 0.

$$x^{4}-18x^{2}+81=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 81, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±81,±27,±9,±3,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=3$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{4}-18x^{2}+81 на x-3, чтобы получить x^{3}+3x^{2}-9x-27. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$x^{3}+3x^{2}-9x-27=0$$

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -27, а q делит старший коэффициент 1. Перечислите всех кандидатов \frac{p}{q}.

$$±27,±9,±3,±1$$

Найдите один такой корень, перепробовав все целочисленные значения, начиная с наименьшего по модулю. Если целочисленных корней не найдено, попробуйте дробные значения.

$$x=3$$

По факторам Ньютона, x-k является фактором многочлена сумме для каждого корневого k. Разделите x^{3}+3x^{2}-9x-27 на x-3, чтобы получить x^{2}+6x+9. Чтобы разложить результат на множители, решите уравнение, в левой части которого стоит этот результат, а в правой — 0.

$$x^{2}+6x+9=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на 6 и c на 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-6±0}{2}$$

Решения совпадают.

$$x=-3$$

Перепишите разложенное на множители выражение, используя полученные корни.

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

Вычислить

$$\left(x^{2}-9\right)^{2}$$