Решить x^225+1

$${ x }^{ 225 } +1$$

Разложить на множители

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Действия по решению

Перепишите x^{225}+1 как \left(x^{75}\right)^{3}+1^{3}. Сумма кубов может быть разрешается с помощью правила: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{75}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Учтите x^{75}+1. Перепишите x^{75}+1 как \left(x^{25}\right)^{3}+1^{3}. Сумма кубов может быть разрешается с помощью правила: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{25}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)$$

Учтите x^{25}+1. Найдите один множитель в форме x^{k}+m, где x^{k} делит одночлен с наибольшим значением x^{25} , а m делит постоянный множитель 1. Один из таких множителей — это x^{5}+1. Разложите полином, разделив его на этот множитель.

$$\left(x^{5}+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)$$

Учтите x^{5}+1. Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 1, а q делит старший коэффициент 1. Одним из таких корней является -1. Разложите многочлен на множители, разделив его на x+1.

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение. Следующие многочлены не разлагаются на множители, поскольку не имеют рациональных корней: x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1,x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1,x^{50}-x^{25}+1,x^{150}-x^{75}+1.

$$\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Вычислить

$$x^{225}+1$$