Решить x^2-x-13=0

$${ x }^{ 2 } -x-13=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{53} + 1}{2} \approx 4,140054945$$

$$x=\frac{1-\sqrt{53}}{2}\approx -3,140054945$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-x-13=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -13 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-13\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -13.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+52}}{2}$$

Прибавьте 1 к 52.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{53}}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{53}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{53}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{53}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{53} из 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{53}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{53}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{53}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-13=0$$

Прибавьте 13 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Если из -13 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-x=-\left(-13\right)$$

Вычтите -13 из 0.

$$x^{2}-x=13$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=13+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=13+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 13 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{53}{4}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{53}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{53}}{2}$$