Решить x^2-x-1=16180

$${ x }^{ 2 } -x-1=16180$$

Найдите x

$$x = \frac{5 \sqrt{2589} + 1}{2} \approx 127,705542332$$

$$x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}\approx -126,705542332$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-x-1=16180$$

Вычтите 16180 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-x-1-16180=16180-16180$$

Если из 16180 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-x-1-16180=0$$

Вычтите 16180 из -1.

$$x^{2}-x-16181=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -16181 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-16181\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -16181.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+64724}}{2}$$

Прибавьте 1 к 64724.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{64725}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 64725.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5\sqrt{2589}}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 5\sqrt{2589}.

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±5\sqrt{2589}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 5\sqrt{2589} из 1.

$$x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2} x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=16180$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=16180-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-x=16180-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 16180.

$$x^{2}-x=16181$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=16181+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=16181+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 16181 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{64725}{4}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{64725}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64725}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{2589}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{5\sqrt{2589}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5\sqrt{2589}+1}{2} x=\frac{1-5\sqrt{2589}}{2}$$