Решить x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Решение для x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -1 и c на -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Решение x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Чтобы произведение было положительным, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} и x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} должны одновременно быть либо отрицательными, либо положительными. Рассмотрим случай, когда x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} и x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} отрицательны.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Если x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} и x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} являются положительными.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$