Решить x^2-x-1=0

$${ x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Прибавьте 1 к 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{5} из 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$x^{2}-x=1$$

Разделите -1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 1 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Разложите x^{2}-x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$