Решить x^2-6x-27=0

$${ x }^{ 2 } -6x-27 = 0$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x=9$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}-6x-27 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-6 ab=-27$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -27 продукта.

$$1,-27 3,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -6.

$$a=-9 b=3$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-27. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -27 продукта.

$$1,-27 3,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -6.

$$a=-9 b=3$$

Перепишите x^{2}-6x-27 как \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 3 во второй группе.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -6 вместо b и -27 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-27\right)}}{2}$$

Возведите -6 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-27\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -27.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+108}}{2}$$

Прибавьте 36 к 108.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 144.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±12}{2}$$

Число, противоположное -6, равно 6.

$$x=\frac{6±12}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{6±12}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 6 к 12.

$$x=\frac{18}{2}$$

Разделите 18 на 2.

$$x=9$$

Решите уравнение x=\frac{6±12}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 12 из 6.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Разделите -6 на 2.

$$x=-3$$

Уравнение решено.

$$x=9 x=-3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Прибавьте 27 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-6x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Если из -27 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-6x=-\left(-27\right)$$

Вычтите -27 из 0.

$$x^{2}-6x=27$$

Разделите -6, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -3. Затем добавьте квадрат -3 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=27+\left(-3\right)^{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x^{2}-6x+9=27+9$$

Прибавьте 27 к 9.

$$x^{2}-6x+9=36$$

Разложите x^{2}-6x+9 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=36$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Упростите.

$$x-3=6 x-3=-6$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$x=9 x=-3$$