Решить x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -6 вместо b и 11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Возведите -6 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Умножьте -4 на 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Прибавьте 36 к -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Число, противоположное -6, равно 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 6 к 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Разделите 6+2i\sqrt{2} на 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Решите уравнение x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{2} из 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Разделите 6-2i\sqrt{2} на 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Уравнение решено.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Вычтите 11 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Если из 11 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Разделите -6, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -3. Затем добавьте квадрат -3 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Прибавьте -11 к 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Разложите x^{2}-6x+9 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Упростите.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$