Решить x^2-5x-36=0

$${ x }^{ 2 } -5x-36=0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, разложите x^{2}-5x-36 на множители по формуле x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-5 ab=-36$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -36 продукта.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-9 b=4$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-9\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+4=0.

$$x=9 x=-4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-36. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-5 ab=1\left(-36\right)=-36$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -36 продукта.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-9 b=4$$

Перепишите x^{2}-5x-36 как \left(x^{2}-9x\right)+\left(4x-36\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(4x-36\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 4 во второй группе.

$$x\left(x-9\right)+4\left(x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-9\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+4=0.

$$x=9 x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-5x-36=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -5 вместо b и -36 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-36\right)}}{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-36\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -36.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2}$$

Прибавьте 25 к 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±13}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±13}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 13.

$$x=\frac{18}{2}$$

Разделите 18 на 2.

$$x=9$$

Решите уравнение x=\frac{5±13}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из 5.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Разделите -8 на 2.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=9 x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x-36=0$$

Прибавьте 36 к обеим частям уравнения.

$$x^{2}-5x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Если из -36 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-5x=-\left(-36\right)$$

Вычтите -36 из 0.

$$x^{2}-5x=36$$

Разделите -5, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 36 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

Разложите x^{2}-5x+\frac{25}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=9 x=-4$$