Решить x^2-4x-16>0

$${ x }^{ 2 } -4x-16 > 0$$

Решение для x

$$x\in \left(-\infty,2-2\sqrt{5}\right)\cup \left(2\sqrt{5}+2,\infty\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-4x-16=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -4 и c на -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}$$

Решение x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$\left(x-\left(2\sqrt{5}+2\right)\right)\left(x-\left(2-2\sqrt{5}\right)\right)>0$$

Чтобы произведение было положительным, x-\left(2\sqrt{5}+2\right) и x-\left(2-2\sqrt{5}\right) должны одновременно быть либо отрицательными, либо положительными. Рассмотрим случай, когда x-\left(2\sqrt{5}+2\right) и x-\left(2-2\sqrt{5}\right) отрицательны.

$$x-\left(2\sqrt{5}+2\right)<0 x-\left(2-2\sqrt{5}\right)<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x<2-2\sqrt{5}.

$$x<2-2\sqrt{5}$$

Если x-\left(2\sqrt{5}+2\right) и x-\left(2-2\sqrt{5}\right) являются положительными.

$$x-\left(2-2\sqrt{5}\right)>0 x-\left(2\sqrt{5}+2\right)>0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x>2\sqrt{5}+2.

$$x>2\sqrt{5}+2$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x<2-2\sqrt{5}\text{; }x>2\sqrt{5}+2$$