Решить x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Решение для x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -3 и c на 1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

РазРешите уравнение, x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, когда ± — плюс, а когда ±-минус.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} и x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} должны иметь противоположные знаки. Рассмотрим случай, когда x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} положительным и x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} отрицательным.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрим случай, когда x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} положительным и x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} отрицательным.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$