Решить x^2-32x+45=0

$${ x }^{ 2 } -32x+45=0$$

Найдите x

$$x=\sqrt{211}+16\approx 30,525839046$$

$$x=16-\sqrt{211}\approx 1,474160954$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-32x+45=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -32 вместо b и 45 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 45}}{2}$$

Возведите -32 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 45}}{2}$$

Умножьте -4 на 45.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-180}}{2}$$

Прибавьте 1024 к -180.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{844}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 844.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±2\sqrt{211}}{2}$$

Число, противоположное -32, равно 32.

$$x=\frac{32±2\sqrt{211}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{32±2\sqrt{211}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 32 к 2\sqrt{211}.

$$x=\frac{2\sqrt{211}+32}{2}$$

Разделите 32+2\sqrt{211} на 2.

$$x=\sqrt{211}+16$$

Решите уравнение x=\frac{32±2\sqrt{211}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{211} из 32.

$$x=\frac{32-2\sqrt{211}}{2}$$

Разделите 32-2\sqrt{211} на 2.

$$x=16-\sqrt{211}$$

Уравнение решено.

$$x=\sqrt{211}+16 x=16-\sqrt{211}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-32x+45=0$$

Вычтите 45 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-32x+45-45=-45$$

Если из 45 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-32x=-45$$

Деление -32, коэффициент x термина, 2 для получения -16. Затем добавьте квадрат -16 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-32x+\left(-16\right)^{2}=-45+\left(-16\right)^{2}$$

Возведите -16 в квадрат.

$$x^{2}-32x+256=-45+256$$

Прибавьте -45 к 256.

$$x^{2}-32x+256=211$$

Коэффициент x^{2}-32x+256. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-16\right)^{2}=211$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-16\right)^{2}}=\sqrt{211}$$

Упростите.

$$x-16=\sqrt{211} x-16=-\sqrt{211}$$

Прибавьте 16 к обеим частям уравнения.

$$x=\sqrt{211}+16 x=16-\sqrt{211}$$