Решить x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Найдите x

$$x=8$$

$$x=13$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-21x+104 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-21 ab=104$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -21.

$$a=-13 b=-8$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-13=0 и x-8=0у.

$$x=13 x=8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+104. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -21.

$$a=-13 b=-8$$

Перепишите x^{2}-21x+104 как \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Разложите x в первом и -8 в второй группе.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-13, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-13=0 и x-8=0у.

$$x=13 x=8$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -21 вместо b и 104 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Возведите -21 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Умножьте -4 на 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Прибавьте 441 к -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Число, противоположное -21, равно 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{21±5}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 21 к 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Разделите 26 на 2.

$$x=13$$

Решите уравнение x=\frac{21±5}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Разделите 16 на 2.

$$x=8$$

Уравнение решено.

$$x=13 x=8$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Вычтите 104 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Если из 104 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Деление -21, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{21}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{21}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{21}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Прибавьте -104 к \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Коэффициент x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Прибавьте \frac{21}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=13 x=8$$