Решить x^2-18x+65=0

$${ x }^{ 2 } -18x+65=0$$

Найдите x

$$x=5$$

$$x=13$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор x^{2}-18x+65 с помощью формулы x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-18 ab=65$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -18.

$$a=-13 b=-5$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(x+a\right)\left(x+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-13=0 и x-5=0у.

$$x=13 x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+65. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-18 ab=1\times 65=65$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 65.

$$-1,-65 -5,-13$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-65=-66 -5-13=-18$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -18.

$$a=-13 b=-5$$

Перепишите x^{2}-18x+65 как \left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-5x+65\right)$$

Разложите x в первом и -5 в второй группе.

$$x\left(x-13\right)-5\left(x-13\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-13, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-13\right)\left(x-5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-13=0 и x-5=0у.

$$x=13 x=5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -18 вместо b и 65 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 65}}{2}$$

Возведите -18 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 65}}{2}$$

Умножьте -4 на 65.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-260}}{2}$$

Прибавьте 324 к -260.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 64.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±8}{2}$$

Число, противоположное -18, равно 18.

$$x=\frac{18±8}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{18±8}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 18 к 8.

$$x=\frac{26}{2}$$

Разделите 26 на 2.

$$x=13$$

Решите уравнение x=\frac{18±8}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 8 из 18.

$$x=\frac{10}{2}$$

Разделите 10 на 2.

$$x=5$$

Уравнение решено.

$$x=13 x=5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-18x+65=0$$

Вычтите 65 из обеих частей уравнения.

$$x^{2}-18x+65-65=-65$$

Если из 65 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$x^{2}-18x=-65$$

Деление -18, коэффициент x термина, 2 для получения -9. Затем добавьте квадрат -9 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=-65+\left(-9\right)^{2}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x^{2}-18x+81=-65+81$$

Прибавьте -65 к 81.

$$x^{2}-18x+81=16$$

Коэффициент x^{2}-18x+81. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=16$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Упростите.

$$x-9=4 x-9=-4$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$x=13 x=5$$